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1. disjunktive und konjunktive Normalform

Aufgaben

Aufgabe 1:
Finden Sie die disjunktive Normalform und die konjunktive Normalform zur folgenden aussagenlogischen Formel:
((A ∨ B) → C)
Aufgabe 2:
Finden Sie die disjunktive Normalform und die konjunktive Normalform zur folgenden aussagenlogischen Formel:
((A ∧ B) → C)
Aufgabe 3:
Finden Sie die disjunktive Normalform und die konjunktive Normalform zur folgenden aussagenlogischen Formel:
((¬ A ∨ B) → C)
Aufgabe 4:
Finden Sie die disjunktive Normalform und die konjunktive Normalform zur folgenden aussagenlogischen Formel:
((A ∨ B) → ¬ C)
Aufgabe 5:
Finden Sie die disjunktive Normalform und die konjunktive Normalform zur folgenden aussagenlogischen Formel:
((A ∨ B) ↔ C)
Aufgabe 6:
Finden Sie die disjunktive Normalform und die konjunktive Normalform zur folgenden aussagenlogischen Formel:
(( A ∧ B) ↔ C)
Aufgabe 7:
Finden Sie die disjunktive Normalform und die konjunktive Normalform zur folgenden aussagenlogischen Formel:
((A ∨ B) → (C ∨ D))
Aufgabe 8:
Finden Sie die disjunktive Normalform und die konjunktive Normalform zur folgenden aussagenlogischen Formel:
((A ∨ B) → (C ∧ D))
Aufgabe 9:
Finden Sie die disjunktive Normalform und die konjunktive Normalform zur folgenden aussagenlogischen Formel:
(((A ∨B) → C) → D)
Aufgabe 10:
Finden Sie die disjunktive Normalform und die konjunktive Normalform zur folgenden aussagenlogischen Formel:
(((A ∧ B) → C) → D)
Aufgabe 11:
Finden Sie die disjunktive Normalform und die konjunktive Normalform zur folgenden aussagenlogischen Formel:
(((A ∧ B) → ¬ C) → D)
Aufgabe 12:
Finden Sie die disjunktive Normalform und die konjunktive Normalform zur folgenden aussagenlogischen Formel:
((A ∨B) → ¬ C) → D

Lösungen

Lösung 1:
((A ∨B) → C
=
(¬ (A ∨B) ∨C)
=
(¬ A ∧ ¬ B) ∨C DNF
=
(¬ A ∨C ) ∧ (¬ B ∨C) KNF

 
Lösung 2:
((A ∧ B) → C
=
(¬ (A ∧ A) ∨C)
=
(¬ A ∨¬ B ∨C) DNF und KNF

 
Lösung 3:
((¬ A ∨B) → C)
=
(¬ (¬ A ∨B) ∨C)
=
(A ∧ ¬ B) ∨C DFN
=
(A ∨C ) ∧ (¬ B ∨C) KNF

 
Lösung 4:
((A ∨B) → ¬ C)
=
(¬ (A ∨B) ∨¬ C)
=
((¬ A ∧ ¬ B) ∨¬ C) DNF
=
(¬ A ∨¬ C) ∧ (¬ B ∨¬ C) KNF

 
Lösung 5:
((A ∨B) ↔ C)
=
(((A ∨B) → C) ∧ (C → (A ∨B))
=
((¬ (A ∨B) ∨C) ∧ (¬ C ∨(A ∨B)))
=
(((¬ A ∧ ¬ B) ∨C) ∧ (¬ C ∨A ∨B)
=
(¬ A ∨C) ∧ (¬ B ∨C) ∧ (¬ C ∨A ∨B) KNF
=
(C ∨(¬ A ∧ ¬ B)) ∧ (¬ C ∨A ∨B)
=
(C ∧ ¬ C) ∨(C ∧ A) ∨(C ∧ B) ∨(¬ A ∧ ¬ B ∧ ¬ C)
∨(¬ A ∧ ¬ B ∧ A) ∨(¬ A ∧ ¬ B ∧ B)
=
(A ∧ A) ∨(C ∧ B) ∨(¬ A ∧ ¬ B ∧ ¬ C) DNF

 
Lösung 6:
(( A ∧ B) ↔ C)
=
((A ∧ B) → C) ∧ (C → (A ∧ B))
=
(¬ (A ∧ B) ∨C) ∧ (¬ C ∨(A ∧ B))
=
(¬ A ∨¬ B ∨C) ∧ ((¬ C ∨A) ∧ (¬ C ∨B)) KNF
 
=
(¬ A ∨¬ B ∨C) ∧ (¬ C ∨(A ∧ B))
=
(¬ A ∧ ¬ C) ∨(¬ A ∧ (A ∧ B)) ∨(¬ B ∧ ¬ C)
∨(¬ B ∧ (A ∧ B)) ∨(C ∧ ¬ C) ∨(C ∧ (A ∧ B))
=
(¬ A ∧ ¬ C) ∨(¬ B ∧ ¬ C) ∨(C ∧ A ∧ B) DNF

 
Lösung 7:
((A ∨B) → (C ∨D))
=
(¬ (A ∨B) ∨(C ∨D))
=
(¬ A ∧ ¬ B) ∨(C ∨D) DNF
=
((¬ A ∨C) ∧ (¬ B ∨C)) ∨D
=
(¬ A ∨C ∨D) ∧ (¬ B ∨C ∨D) KNF

 
 
Lösung 8:
((A ∨B) → (C ∧ D))
=
¬ (A ∨B) ∨(A ∧ D)
=
(¬ A ∧ ¬ B) ∨(C ∧ D)
=
(¬ A ∨C ) ∧ (¬ A ∨D) ∧ (¬ B ∨C) ∧ (¬ B ∨D) KNF
=
(¬ A ∨(C ∧ D)) ∧ (¬ B ∨(C ∧ D))
=
(¬ A ∧ ¬ B) ∨(C ∧ D) DNF

 
Lösung 9:
(((A ∨B) → C) → D)
=
((¬ (A ∨B) ∨C ) → D)
=
((¬ A ∧ ¬ B) ∨C) → D)
=
¬ ((¬ A ∧ ¬ B) ∨C) ∨D
=
(¬ (¬ A ∧ ¬ B) ∧ ¬ C) ∨D
=
((A ∨B) ∧ ¬ C) ∨D
=
(A ∧ ¬ C) ∨(B ∧ ¬ C) ∨D DNF
=
(¬ C ∧ (A ∨B)) ∨D
=
(¬ C ∨D) ∧ ((A ∨B) ∨D)
=
(¬ C ∨D) ∧ (A ∨B ∨D) KNF

 
Lösung 10:
(((A ∧ B) → C) → D)
=
(¬ (A ∧ B) ∨C) → D
=
((¬ A ∨¬ B) ∨C) → D
=
¬ ( ¬ A ∨¬ B ∨C) ∨D
=
(A ∧ B ∧ ¬ C) ∨D DNF
=
(A ∨D) ∧ (B ∨D) ∧ (¬ C ∨D) KNF

 
Lösung 11:
((A ∧ B) → ¬ C) → D
=
(¬ ( A∧ B) ∨¬ C) → D
=
(¬ A ∨¬ B ∨¬ C ) → D
=
¬ ( ¬ A ∨¬ B ∨¬ C) ∨D
=
(A ∧ B ∧ C) ∨D DNF
=
(A ∨D) ∧ (B ∨D) ∧ (C ∨D) KNF

 
Lösung 12:
(A ∨B) → ¬ C) → D
=
((¬ A ∨¬ C) ∧ (¬ B ∨¬ C)) → D
=
¬ ((¬ A ∨¬ C) ∧ (¬ B ∨¬ C)) ∨D
=
(¬ (¬ A ∨¬ C) ∨¬ (¬ B ∨¬ C)) ∨D
=
(A ∧ C) ∨(B ∧ C) ∨D DNF
=
C ∧ ( A ∨B) ∨D
=
(C ∨D) ∧ (A ∨B ∨D) KNF

 
Sascha Frank
Last modified: Wed Jun 10 18:45:09 CEST 2009